Разработана математическая модель для описания процессов с насыщением на основе дробного уравнения Риккати

 
Завершено исследование разностных схем численного решения дробного уравнения Риккати с переменными коэффициентами и переменной памятью, где дробная производная понимается в смысле Герасимова-Капуто. Для нелинейного дробного уравнения в общем случае доказаны теоремы аппроксимации, устойчивости и сходимости нелокальной неявной конечно-разностной схемы (IFDS). Для IFDS показано что схема сходящейся с порядком соотвествующим оценке для аппроксимации дробного оператора Герасимова-Капуто. Схема IFDS решается модифицированным методом Ньютона (MNM), для которого показано, что метод локально устойчив и сходится с первым порядком точности. Также в случае дробного уравнения Риккати доказываются теоремы аппроксимации, устойчивости и сходимости для нелокальной явной конечно-разностной схемы (EFDS). Показано, что EFDS условно сходится с первым порядком точности. На конкретных тестовых примерах оценивалась вычислительная точность численных методов по правилу Рунге и производилось сравнение с точным решением. Показано, что порядок вычислительной точности численных методов с увеличением узлов расчетной сетки стремится к теоретическому порядку точности.
 
Основной вклад этого исследования:
Предложена математическая модель для описания процессов с насыщением на основе дробного уравнения Риккати с переменными коэффициентами и производной дробного переменного порядка типа Герасимова-Капуто;
Предложены численные методы решения задачи Коши для математической модели: нелокальная EFDS, нелокальная IFDS, а также MNM для решения IFDS;
Исследуются вопросы аппроксимации, устойчивости и сходимости методов.
Этот теоретический результат подтверждается конкретными тестовыми примерами и оценками точности вычислений по правилу Рунге. Важно отметить, что в качестве тестового примера также рассматривается случай сравнения численного решения с использованием схем IFDS и EFDS с точным решением. Показано, что порядок расчетной точности численных методов приближается к теоретическому порядку точности с увеличением узлов расчетной сетки;
Разработана библиотека в среде символьной математики Maple 2021, которая содержит процедуры численного анализа дробного уравнения Риккати с переменной дробной производной типа Герасимова-Капуто и непостоянными коэффициентами с возможностью визуализации результатов моделирования.
Дальнейшее продолжение работы, связанной с теоретическими вопросами разработанной математической модели, может заключаться, например, в исследовании поведения численного решения и его устойчивости под действием случайного шума.
 
Результат опубликован Tverdyi, Dmitriy, and Roman Parovik. 2022. "Investigation of Finite-Difference Schemes for the Numerical Solution of a Fractional Nonlinear Equation" Fractal and Fractional 6, №1, 23. https://doi.org/10.3390/fractalfract6010023