Статья "Применение нейросетевого алгоритма на основе ортогональных многочленов Лагерра для решения задачи Коши для дифференциальных уравнений с дробной производной переменного порядка — на примере дробного уравнения Лейна–Эмдена" опубликована в журнале "Computation" издательства MDPI

Авторы: научный сотрудники лаборатории электромагнитных излучений ИКИР ДВО РАН, к.ф.-м.н. Твёрдый Дмитрий Александрович и главный научный сотрудник лаборатории моделирования физических процессов ИКИР ДВО РАН, д.ф.-м.н. Паровик Роман Иванович.

В данной работе предложен, реализован и протестирован нейросетевой метод, основанный на использовании ортогональных многочленов Лагерра, для численного решения задачи Коши для сингулярного нелинейного уравнения Лейна–Эмдена, содержащего дробную производную переменного порядка.

Такие уравнения редко допускают получение аналитических решений, в то время как классические конечно-разностные схемы сталкиваются с трудностями из-за наличия сингулярности вблизи нуля и нелокального характера дробной производной. Приближенное решение представляется в виде разложения по модифицированным многочленам Лагерра, сдвинутым в начальную точку, что позволяет точно удовлетворить начальным условиям задачи Коши.

Нейронная сеть содержит один обучаемый линейный слой, а нелинейность обеспечивается полиномиальным базисом. Весовые коэффициенты определяются путем минимизации функции потерь, включающей невязку уравнения в точках коллокации, весовой множитель для повышения точности вблизи сингулярности, а также регуляризатор, ограничивающий рост весов. Для обучения используется алгоритм Adam с адаптивным планировщиком скорости обучения и механизмом ранней остановки.

Реализация выполнена на языке Python 3.13.1 с использованием библиотеки PyTorch 2.7.1. Векторизованная тензорная реализация позволяет ускорить вычисления примерно в тридцать раз по сравнению с версией, использующей циклы. На тестовых задачах с известными точными решениями максимальная абсолютная погрешность составляет около 0,0005; при сравнении с другими численными методами — около 0,008; в ходе стресс-тестирования — около 0,03. Данный подход перспективен для решения сингулярных дробно-дифференциальных уравнений переменного порядка и допускает распараллеливание вычислений как на центральных, так и на графических процессорах.

С полным текстом статьи можно ознакомиться по ссылке.

Библиографическая ссылка: Tverdiy, D.; Parovik, R. Application of a Neural-Network Algorithm Based on Orthogonal Laguerre Polynomials to the Solution of the Cauchy Problem for Differential Equations with a Variable-Order Fractional Derivative on the Example of the Fractional Lane–Emden Equation, Computation 2026, 14, 254. https://doi.org/10.3390/computation14100254