Исследования проведены Твёрдым Д.А. и Паровиком Р.И.

 

В статье рассматриваются различные схемы численного решения дробного уравнения Риккати с переменными коэффициентами и переменной памятью, где дробная производная понимается в смысле Герасимова-Капуто. Для нелинейного дробного уравнения в общем случае доказаны теоремы аппроксимации, устойчивости и сходимости нелокальной неявной разностной схемы (IFDS). Для IFDS показано, что схема сходится с порядком, соответствующим оценке аппроксимации дробного оператора Герасимова-Капуто. Схема IFDS решается модифицированным методом Ньютона (МНМ), для чего показано, что метод локально устойчив и сходится с первым порядком точности. В случае дробного уравнения Риккати доказываются теоремы об аппроксимации, устойчивости и сходимости для нелокальной явной конечно-разностной схемы (EFDS). Показано, что EFDS условно сходится с первым порядком точности. На конкретных тестовых примерах вычислительная точность численных методов оценивалась по правилу Рунге и сравнивалась с точным решением. Показано, что порядок вычислительной точности численных методов стремится к теоретическому порядку точности с увеличением узлов расчетной сетки.

 

Ключевые слова: уравнение Риккати; дробная производная переменного порядка; производная Герасимова-Капуто; Эффект памяти; численные методы; разностные схемы; модифицированный метод Ньютона.

 

Tverdyi D, Parovik R. Investigation of Finite-Difference Schemes for the Numerical Solution of a Fractional Nonlinear Equation. Fractal and Fractional (Q1). 2022; 6(1):23. https://doi.org/10.3390/fractalfract6010023